9 Vjerojatnosne distribucije
9.1 Beta distribucija
Za neprekidnu slučajnu varijablu \(X\) sa slikom \(\mathcal{R}(X)=\langle 0, 1\rangle\) i gustoćom \[~f(x | \alpha, \beta )=\frac{1}{B(\alpha, \beta)}x^{\alpha-1}\left(1-x\right)^{\beta-1}I_{\langle 0, 1 \rangle}(x),\] gdje je \[B\left(\alpha, \beta\right)= \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\] beta funkcija i \(\alpha >0\) i \(\beta>0\) parametri kažemo da je beta slučajna varijabla i koristimo oznaku \(X \sim Beta(\alpha, \beta)\). Pripadnu distribuciju zovemo beta distribucija.
U R-u pripadnu gustoću dohvaćamo s dbeta(x, shape=\(\alpha\), rate=\(\beta\))
Mjere centra i raspršenja:
- Očekivanje: \(E[X]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\)
- Varijanca: \(Var(X)=\frac{\alpha \beta }{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}\)
- Uočimo: \(Var(X)=\frac{EX\left(1-EX\right)}{\alpha+\beta+1}\)
9.2 Gama distribucija
Za neprekidnu slučajnu varijablu \(X\) sa slikom \(\mathcal{R}(X)=\langle 0, \infty\rangle\) i gustoćom \[~f(x | \alpha, \beta )=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}I_{\langle 0, \infty \rangle}(x),\] gdje su \(\alpha >0\) i \(\beta>0\) parametri kažemo da je gama slučajna varijabla i koristimo oznaku \(X \sim \Gamma(\alpha, \beta)\). Pripadnu distribuciju zovemo gama distribucija.
U R-u pripadnu gustoću dohvaćamo s dgamma(x, shape=\(\alpha\), rate=\(\beta\))
Mjere centra i raspršenja:
- Očekivanje: \(E[X]=\frac{\alpha}{\beta}\)
- Varijanca: \(Var(X)=\frac{\alpha}{\beta^2}\)
9.3 Inverzna gama distribucija
Za neprekidnu slučajnu varijablu \(X\) sa slikom \(\mathcal{R}(X)=\langle 0, \infty\rangle\) i gustoćom \[~f(x | \alpha, \beta )=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{-\alpha-1}e^{-\frac{\beta}{x}}I_{\langle 0, \infty \rangle}(x),\] gdje su \(\alpha >0\) i \(\beta>0\) parametri kažemo da je inverzna gama slučajna varijabla i koristimo oznaku \(X \sim InvGama(\alpha, \beta)\). Pripadnu distribuciju zovemo inverzna gama distribucija.
U R-u pripadnu gustoću dohvaćamo s dinvgamma(x, \(\alpha\), \(\beta\)). S druge strane, ako \(X \sim \Gamma(\alpha, \beta)\) tada \(1/X \sim InvGama(\alpha, \beta)\).
Mjere centra i raspršenja:
- Očekivanje: \(E[X]=\frac{\beta}{\alpha-1}, \quad \alpha >1\)
- Varijanca: \(Var(X)=\frac{\beta^2}{\left(\alpha-1\right)^2\left(\alpha-2\right)}, \quad \alpha >2.\)
9.4 Beta-binomna distribucija
Za diskretnu slučajnu varijablu \(X\) sa slikom \(\mathcal{R}(X)=\{0, 1, \dots, n\}\) i gustoćom \[~f(x | n, \alpha, \beta )=\binom{n}{x}\frac{B(x+\alpha, n-x+\beta )}{B(\alpha, \beta)},\] gdje su \(n \in \mathbb{N}_0\), \(\alpha >0\) i \(\beta>0\) parametri kažemo da je beta-binomna slučajna varijabla i koristimo oznaku \(X \sim BetaBin(n, \alpha, \beta)\). Pripadnu distribuciju zovemo beta-binomna distribucija.
U R-u pripadnu gustoću dohvaćamo s dbbinom(x, \(\alpha\), \(\beta\)).
Mjere centra i raspršenja:
- Očekivanje: \(E[X]=\frac{n\alpha}{\alpha+\beta}\)
- Varijanca: \(Var(X)=\frac{n\alpha \beta \left(\alpha+\beta+n\right) }{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}\)
9.5 Negativna-binomna distribucija
Za diskretnu slučajnu varijablu \(X\) sa slikom \(\mathcal{R}(X)=\mathbb{N}_0\) i gustoćom \[~f(x | r, \beta )=\binom{x+r-1}{x}\left(\frac{\beta}{1+\beta}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{1+\beta}\right)^{r},\] gdje su \(r>0\) i \(\beta>0\) parametri kažemo da je negativna-binomna slučajna varijabla i koristimo oznaku \(X \sim NegBin(r, \beta)\). Pripadnu distribuciju zovemo negativna-binomna distribucija.
U R-u pripadnu gustoću dohvaćamo s dnbinom(x, size=\(r\), prob=\(\frac{\beta}{1+\beta}\)).
Mjere centra i raspršenja:
- Očekivanje: \(E[X]=r\beta\)
- Varijanca: \(Var(X)=r \beta \left(1+\beta\right)\)
9.6 Lomax distribucija
Za neprekidnu slučajnu varijablu \(X\) sa slikom \(\mathcal{R}(X)=\langle 0, \infty\rangle\) i gustoćom \[~f(x | \alpha, \lambda )=\frac{\alpha}{\lambda}\left(1+\frac{x}{\lambda}\right)^{-\left(\alpha+1\right)}I_{\langle 0, \infty \rangle}(x),\] gdje su \(\alpha >0\) i \(\lambda>0\) parametri kažemo da je Lomax slučajna varijabla i koristimo oznaku \(X \sim Lomax(\alpha, \lambda)\). Pripadnu distribuciju zovemo Lomax distribucija.
U R-u pripadnu gustoću dohvaćamo s dlomax(x, \(\frac{1}{\lambda}\), \(\alpha\)).
Mjere centra i raspršenja:
- Očekivanje: \(E[X]=\frac{\lambda}{\alpha-1}\)
- Varijanca: \(Var(X)=\frac{\lambda^2 \alpha}{\left(\alpha-1\right)^2 \left(\alpha-2\right)}, \quad \alpha >2\)
- Medijan: \(\lambda \left(\sqrt[\alpha]{2}-1\right)\)